19. (3 балла): Найдите экстремумы функции у = -x³+3x²-2

Решение:

Для нахождения экстремумов функции, найдем её производную и приравняем к нулю.

Производная функции \( y = -x^3 + 3x^2 - 2 \) равна:

\[ y' = -3x^2 + 6x \]

Приравняем производную к нулю:

\[ -3x^2 + 6x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( -3x \):

\[ -3x(x - 2) = 0 \]

Отсюда получаем критические точки:

• \( -3x = 0 \implies x = 0 \)
• \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)

Теперь определим характер экстремумов, используя вторую производную.

Вторая производная функции:

\[ y'' = -6x + 6 \]

Проверим точки:

• При \( x = 0 \): \( y''(0) = -6(0) + 6 = 6 \). Так как \( y''(0) > 0 \), то в точке \( x=0 \) находится минимум.
• При \( x = 2 \): \( y''(2) = -6(2) + 6 = -12 + 6 = -6 \). Так как \( y''(2) < 0 \), то в точке \( x=2 \) находится максимум.

Найдем значения функции в этих точках:

• Минимум: \( y(0) = -(0)^3 + 3(0)^2 - 2 = -2 \).
• Максимум: \( y(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 2 = -8 + 3(4) - 2 = -8 + 12 - 2 = 2 \).

Ответ: Минимум функции в точке \( x=0 \), значение \( y=-2 \). Максимум функции в точке \( x=2 \), значение \( y=2 \).