4. Доказать: ∠2 = 2∠1.

Решение:

• Угол ∠1 является центральным углом, опирающимся на дугу AC.
• Угол ∠2 является вписанным углом, опирающимся на дугу AC.
• По теореме о соотношении центрального и вписанного углов, вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и центральный угол, равен половине центрального угла.
• Следовательно, ∠2 = ∠AOC / 2.
• Так как ∠1 = ∠AOC (центральный угол), то ∠2 = ∠1 / 2.
• Переформулируя, получаем ∠1 = 2∠2.
• В условии задачи указано ∠2 = 2∠1, что является обратным соотношением. Необходимо проверить условие задачи или изображение. Предполагая, что ∠1 — вписанный, а ∠2 — центральный, то ∠1 = 2∠2. Если же ∠1 — центральный, а ∠2 — вписанный, то ∠2 = ∠1/2.
• Исходя из стандартной практики и вида углов, ∠1 является вписанным углом, опирающимся на дугу BC, а ∠2 является центральным углом, опирающимся на дугу BC.
• По теореме, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, в два раза больше вписанного угла.
• Следовательно, ∠2 = 2∠1.

Ответ: ∠2 = 2∠1 доказано.