8. Доказать: AB || CD.

Решение:

• Рассмотрим треугольники AOB и COD.
• AO = CO (радиусы окружности).
• BO = DO (радиусы окружности).
• AB = CD (по условию, хорды равны).
• Следовательно, треугольники AOB и COD равны по трем сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).
• Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB = ∠COD.
• Углы AOB и COD являются центральными углами, опирающимися на дуги AB и CD соответственно.
• Если центральные углы равны, то и соответствующие им дуги равны: дуга AB = дуга CD.
• Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, также равны.
• Рассмотрим секущую, пересекающую прямые AB и CD. Например, продлим AO до пересечения с окружностью в точке X. Если бы AB || CD, то внутренние накрест лежащие углы, образованные секущей и параллельными прямыми, были бы равны.
• Однако, из равенства центральных углов ∠AOB = ∠COD следует, что они являются центральными углами, опирающимися на равные дуги.
• Рассмотрим углы CAB и ACD. Угол CAB — вписанный, опирается на дугу CB. Угол ACD — вписанный, опирается на дугу AD.
• В данной конфигурации, если AB = CD, то равны дуги AB и CD.
• Рассмотрим вписанные углы, опирающиеся на эти дуги. Например, угол ACB опирается на дугу AB, а угол CAD опирается на дугу CD.
• Следовательно, ∠ACB = ∠CAD.
• Эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC.
• Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые AB и CD параллельны.

Ответ: AB || CD доказано.