16. Найдите P_ABCD. В трапеции ABCD основания BC = 5 и AD = 15. Точка N — середина AB; точки M, N, C лежат на одной прямой; ∠MAD = 60°, ∠CMD = 30°, ∠MCD = 90°.

Обозначим горизонтальную проекцию AB на основание AD через \(x\), а высоту трапеции — через \(h\). Из угла при A: \(h=x\tan 60°=x\sqrt3\).

Поскольку N — середина AB, её высота над основанием равна \(h/2\), а горизонтальное расстояние от A до N — \(x/2\). Прямая MC образует с MD угол 30°. Используя, что N и C лежат на MC, а горизонтальное расстояние от A до C равно \(x+5\), получаем \(\frac{h/2}{x/2+m}=\frac{h}{x+5+m}=\tan 30°\), где \(m=AM\). Равенство первых двух отношений даёт \(m=5\); затем \(h/(x+10)=1/\sqrt3\).

Совместно с \(h=x\sqrt3\) это даёт \(x=5\) и \(h=5\sqrt3\). Поэтому \(AB=\sqrt{x^2+h^2}=10\). Горизонтальный сдвиг верхнего основания равен \(AD-BC-x=15-5-5=5\), откуда \(CD=\sqrt{5^2+(5\sqrt3)^2}=10\).

Итак, \(P_{ABCD}=5+15+10+10=40\).

Ответ: 40.