16. Решите уравнение $$\frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} = 6$$.

Решение:

1. Общий знаменатель для дробей - $$(x-2)^2$$. Умножим обе части уравнения на него, предварительно наложив ограничение $$x \neq 2$$.
2. $$\(x-2)^2 \left( \frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} \right) = 6 \times (x-2)^2 \)$$
3. $$1 - (x-2) = 6(x^2 - 4x + 4)$$
4. $$1 - x + 2 = 6x^2 - 24x + 24$$
5. $$3 - x = 6x^2 - 24x + 24$$
6. Перенесем все члены в правую часть:
   $$6x^2 - 24x + x + 24 - 3 = 0$$
   $$6x^2 - 23x + 21 = 0$$
7. Найдем дискриминант:
   $$D = (-23)^2 - 4 \times 6 \times 21 = 529 - 504 = 25$$.
8. Найдем корни:
   $$x_1 = \frac{23 + \sqrt{25}}{2 \times 6} = \frac{23 + 5}{12} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$$.
   $$x_2 = \frac{23 - \sqrt{25}}{2 \times 6} = \frac{23 - 5}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$$.
9. Оба корня не равны 2, поэтому являются решениями уравнения.

Ответ: $$\frac{3}{2}$$; $$\frac{7}{3}$$