16. Решите уравнение: $$ \frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} = 6 $$

1. Определяем область допустимых значений (ОДЗ):

Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $$x-2
e 0$$, что означает $$x
e 2$$.

2. Вводим замену переменной:

Пусть $$y = \frac{1}{x-2}$$. Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - y = 6 \]

3. Решаем квадратное уравнение относительно y:

\[ y^2 - y - 6 = 0 \]

Используем дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$.

\[ y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1+5}{2} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1-5}{2} = -2 \]

4. Возвращаемся к исходной переменной x:

• Случай 1: $$y = 3$$

\[ \frac{1}{x-2} = 3 \]

\[ 1 = 3(x-2) \]

\[ 1 = 3x - 6 \]

\[ 3x = 7 \]

\[ x = \frac{7}{3} \]

• Случай 2: $$y = -2$$

\[ \frac{1}{x-2} = -2 \]

\[ 1 = -2(x-2) \]

\[ 1 = -2x + 4 \]

\[ 2x = 3 \]

\[ x = \frac{3}{2} \]

5. Проверяем, удовлетворяют ли корни ОДЗ:

Оба корня, $$\frac{7}{3}$$ и $$\frac{3}{2}$$, не равны 2. Следовательно, они являются решениями уравнения.

Ответ:

$$ \frac{7}{3}, \frac{3}{2} $$