17. Расстояние между пристанями А и В равно 80 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 22 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

1. Пусть $$v_я$$ - скорость яхты в неподвижной воде (км/ч), $$v_т = 2$$ км/ч - скорость течения реки.
2. Скорость плота по течению: $$v_п = v_т = 2$$ км/ч.
3. Время, за которое плот прошел 22 км:
   $$t_п = \frac{22 \text{ км}}{2 \text{ км/ч}} = 11$$ часов.
4. Яхта отправилась через 2 часа после плота. Значит, яхта была в пути на 2 часа меньше, чем плот.
   Время в пути яхты: $$t_я = t_п - 2 = 11 - 2 = 9$$ часов.
5. За это время яхта проплыла 80 км до пункта В и 80 км обратно до пункта А, то есть общее расстояние, пройденное яхтой, равно 160 км.
6. Скорость яхты по течению: $$v_{я+т} = v_я + v_т = v_я + 2$$.
7. Скорость яхты против течения: $$v_{я-т} = v_я - v_т = v_я - 2$$.
8. Время в пути яхты:
   $$t_я = \frac{\text{расстояние по течению}}{v_{я+т}} + \frac{\text{расстояние против течения}}{v_{я-т}}$$
   $$9 = \frac{80}{v_я + 2} + \frac{80}{v_я - 2}$$
9. Приведем к общему знаменателю:
   $$9 = \frac{80(v_я - 2) + 80(v_я + 2)}{(v_я + 2)(v_я - 2)}$$
10. $$9 = \frac{80v_я - 160 + 80v_я + 160}{v_я^2 - 4}$$
11. $$9 = \frac{160v_я}{v_я^2 - 4}$$
12. $$9(v_я^2 - 4) = 160v_я$$
13. $$9v_я^2 - 36 = 160v_я$$
14. $$9v_я^2 - 160v_я - 36 = 0$$
15. Найдем дискриминант:
    $$D = (-160)^2 - 4 \times 9 \times (-36) = 25600 + 1296 = 26896$$.
16. $$\sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164$$.
17. Найдем $$v_я$$:
    $$v_{я1} = \frac{160 + 164}{2 \times 9} = \frac{324}{18} = 18$$.
    $$v_{я2} = \frac{160 - 164}{2 \times 9} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}$$ (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной).

Ответ: 18