16. Теплоход проходит по течению реки 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Если скорость теплохода в неподвижной воде равна 5 км/ч, стоянка длится 23 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 35 часов после выплытия из него, найдите скорость течения реки.

Краткая запись:

• Расстояние в одну сторону (S): 80 км
• Скорость теплохода в неподвижной воде (v_т): 5 км/ч
• Время стоянки: 23 часа
• Общее время (T_общ): 35 часов
• Найти: Скорость течения реки (v_тч)

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим время, затраченное непосредственно на движение.
   Время движения = Общее время - Время стоянки
   \( T_{движ} = 35 \text{ ч} - 23 \text{ ч} = 12 \text{ ч} \).
2. Шаг 2: Обозначим скорость течения реки как \( x \) км/ч.
   Скорость теплохода по течению: \( v_{по} = v_т + x = 5 + x \) км/ч.
   Скорость теплохода против течения: \( v_{против} = v_т - x = 5 - x \) км/ч.
3. Шаг 3: Время движения по течению: \( t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{80}{5 + x} \) часов.
4. Шаг 4: Время движения против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{80}{5 - x} \) часов.
5. Шаг 5: Общее время движения равно сумме времени движения по течению и против течения:
   \( t_{по} + t_{против} = T_{движ} \)
   \( \frac{80}{5 + x} + \frac{80}{5 - x} = 12 \)
6. Шаг 6: Решим полученное уравнение. Приведем к общему знаменателю:
   \( \frac{80(5 - x) + 80(5 + x)}{(5 + x)(5 - x)} = 12 \)
   \( \frac{400 - 80x + 400 + 80x}{25 - x^2} = 12 \)
   \( \frac{800}{25 - x^2} = 12 \)
7. Шаг 7: Умножим обе части на \( 25 - x^2 \):
   \( 800 = 12(25 - x^2) \)
   \( 800 = 300 - 12x^2 \)
8. Шаг 8: Перенесем члены уравнения:
   \( 12x^2 = 300 - 800 \)
   \( 12x^2 = -500 \)
9. Шаг 9: Анализ: \( x^2 = -\frac{500}{12} \). Так как квадрат числа не может быть отрицательным, данная задача, вероятно, имеет некорректные исходные данные или опечатку в условии. Предположим, что скорость теплохода была больше.

Уточнение: Если предположить, что скорость теплохода была 15 км/ч, а не 5 км/ч, то решение будет следующим:

1. Шаг 6 (с v_т = 15):
   \( \frac{80}{15 + x} + \frac{80}{15 - x} = 12 \)
   \( \frac{80(15 - x) + 80(15 + x)}{(15 + x)(15 - x)} = 12 \)
   \( \frac{1200 - 80x + 1200 + 80x}{225 - x^2} = 12 \)
   \( \frac{2400}{225 - x^2} = 12 \)
2. Шаг 7 (с v_т = 15):
   \( 2400 = 12(225 - x^2) \)
   \( 2400 = 2700 - 12x^2 \)
3. Шаг 8 (с v_т = 15):
   \( 12x^2 = 2700 - 2400 \)
   \( 12x^2 = 300 \)
   \( x^2 = \frac{300}{12} = 25 \)
   \( x = ±5 \). Так как скорость течения не может быть отрицательной, \( x = 5 \) км/ч.

Ответ (при условии, что v_т = 15 км/ч): 5