16. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 35° и ∠BDC = 58°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Задание 16. Углы в трапеции

Дано:

• Трапеция ABCD, где \( AB = CD \) (это значит, что трапеция равнобедренная).
• \( \angle BDA = 35^\circ \)
• \( \angle BDC = 58^\circ \)

Найти: \( \angle ABD \) в градусах.

Решение:

Так как трапеция равнобедренная, её боковые стороны равны (что нам дано: \( AB = CD \)), а также равны углы при каждом основании. Диагонали равнобедренной трапеции также равны, и углы, которые они образуют с основаниями, равны.

Рассмотрим треугольник BCD. Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.

1. Найдем угол \( \angle CBD \) в треугольнике BCD: \[ \angle CBD = 180^\circ - \angle BDC - \angle BCD \]
2. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Мы можем найти \( \angle BCD \) косвенно.
3. Важное свойство равнобедренной трапеции: диагонали равны, то есть \( AC = BD \).
4. Еще одно важное свойство: углы, образованные диагоналями и боковыми сторонами, равны. В частности, \( \angle BAC = \angle CDB = 58^\circ \) и \( \angle ACD = \angle BDA = 35^\circ \).
5. Рассмотрим треугольник ABD. У нас есть \( \angle BDA = 35^\circ \). Мы хотим найти \( \angle ABD \).
6. Сумма углов в треугольнике ABD равна 180°: \[ \angle BAD + \angle BDA + \angle ABD = 180^\circ \]
7. Нам нужно найти \( \angle BAD \). \( \angle BAD \) — это угол при основании трапеции.
8. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, то есть \( \angle BAD = \angle CDA \).
9. Мы знаем, что \( \angle CDA = \angle BDA + \angle BDC = 35^\circ + 58^\circ = 93^\circ \).
10. Значит, \( \angle BAD = 93^\circ \).
11. Теперь подставим значения в сумму углов треугольника ABD: \[ 93^\circ + 35^\circ + \angle ABD = 180^\circ \]
12. Сложим известные углы: \[ 128^\circ + \angle ABD = 180^\circ \]
13. Найдем \( \angle ABD \): \[ \angle ABD = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ \]

Ответ: 52.