24. Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 71° и 79°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.

Задание 24. Треугольник и описанная окружность

Дано:

• Треугольник ABC.
• \( \angle B = 71^\circ \).
• \( \angle C = 79^\circ \).
• Радиус описанной окружности: \( R = 8 \).

Найти: длину стороны BC.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая связывает стороны треугольника, противолежащие им углы и радиус описанной окружности.

Теорема синусов гласит: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \), где \( a, b, c \) — стороны треугольника, противолежащие углам \( A, B, C \) соответственно, а \( R \) — радиус описанной окружности.

Нас интересует сторона BC, которая противолежит углу A. Пусть \( a = BC \).

Сначала найдем величину угла A, так как сумма углов в треугольнике равна 180°.

1. Найдем \( \angle A \): \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C \]
2. Подставим известные значения: \[ \angle A = 180^\circ - 71^\circ - 79^\circ \]
3. Вычислим: \[ \angle A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \]
4. Теперь применим теорему синусов к стороне BC (или \( a \)) и углу A: \[ \frac{a}{\sin A} = 2R \]
5. Подставим известные значения \( \angle A = 30^\circ \) и \( R = 8 \): \[ \frac{BC}{\sin 30^\circ} = 2 \cdot 8 \]
6. Знаем, что \( \sin 30^\circ = 0.5 \) (или \( \frac{1}{2} \)).
7. Уравнение примет вид: \[ \frac{BC}{0.5} = 16 \]
8. Выразим BC: \[ BC = 16 \cdot 0.5 \]
9. Вычислим: \[ BC = 8 \]

Ответ: 8.