17. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 32√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Задание 17. Описанная окружность квадрата

Дано:

• Радиус описанной окружности квадрата: \( R = 32\sqrt{2} \).

Найти: длину стороны квадрата \( a \).

Решение:

Диагональ квадрата является диаметром описанной около него окружности.

1. Диаметр окружности \( d \) равен удвоенному радиусу: \[ d = 2R \]
2. Подставим значение радиуса: \[ d = 2 \cdot 32\sqrt{2} = 64\sqrt{2} \].
3. Диагональ квадрата \( d \) связана со стороной квадрата \( a \) соотношением \( d = a\sqrt{2} \) (по теореме Пифагора, \( a^2 + a^2 = d^2 \), откуда \( 2a^2 = d^2 \) и \( d = a\sqrt{2} \)).
4. Приравняем выражения для диагонали: \[ a\sqrt{2} = 64\sqrt{2} \]
5. Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{2} \): \[ a = 64 \]

Ответ: 64.