17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию у=1/3х³+х²-3х на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Решение:

Исследуем функцию \( y = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \).

1. Найдем производную функции:

\( y' = \left( \frac{1}{3}x^3 + x^2 - 3x \right)' \)

\( y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 2x - 3 \)

\( y' = x^2 + 2x - 3 \)

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 1 \).

3. Определим промежутки возрастания и убывания функции:

Производная \( y' = x^2 + 2x - 3 \) — это парабола ветвями вверх. Она положительна вне корней и отрицательна между корнями.

• При \( x < -3 \), \( y' > 0 \) — функция возрастает.
• При \( -3 < x < 1 \), \( y' < 0 \) — функция убывает.
• При \( x > 1 \), \( y' > 0 \) — функция возрастает.

4. Найдем точки экстремума:

В точке \( x = -3 \) производная меняет знак с \( + \) на \( - \), значит, это точка максимума.

Найдем значение функции в этой точке:

\( y(-3) = \frac{1}{3}(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3) = \frac{1}{3}(-27) + 9 + 9 = -9 + 9 + 9 = 9 \)

Точка максимума: \( (-3; 9) \).

В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с \( - \) на \( + \), значит, это точка минимума.

Найдем значение функции в этой точке:

\( y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 - 3(1) = \frac{1}{3} + 1 - 3 = \frac{1}{3} - 2 = \frac{1 - 6}{3} = -\frac{5}{3} \)

Точка минимума: \( (1; -\frac{5}{3}) \).

Ответ:

• Функция возрастает на промежутках \( (-∞; -3] \) и \( [1; +∞) \).
• Функция убывает на промежутке \( [-3; 1] \).
• Точка максимума: \( (-3; 9) \).
• Точка минимума: \( (1; -\frac{5}{3}) \).