17. Найдите значение выражения \( \frac{6}{3+\sqrt{7}}+3\sqrt{7} \).

Краткое пояснение:

Для упрощения выражения необходимо избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Затем выполнить сложение.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Умножим числитель и знаменатель первой дроби на сопряженное выражение к знаменателю \( 3+\sqrt{7} \), то есть на \( 3-\sqrt{7} \).
2. Шаг 2: Выполним умножение в числителе: \( 6(3-\sqrt{7}) = 18 - 6\sqrt{7} \).
3. Шаг 3: Выполним умножение в знаменателе, используя формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \): \( (3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2 \).
4. Шаг 4: Теперь дробь выглядит так: \( \frac{18 - 6\sqrt{7}}{2} \).
5. Шаг 5: Упростим дробь, разделив числитель на знаменатель: \( \frac{18}{2} - \frac{6\sqrt{7}}{2} = 9 - 3\sqrt{7} \).
6. Шаг 6: Теперь подставим это упрощенное выражение обратно в исходное: \( (9 - 3\sqrt{7}) + 3\sqrt{7} \).
7. Шаг 7: Выполним сложение: \( 9 - 3\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = 9 \).

Ответ: 9