18. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 4.

Краткое пояснение:

Используя свойства биссектрисы и параллелограмма, а также признаки перпендикулярности, можно определить углы и стороны треугольников, что приведет к нахождению сторон параллелограмма.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Так как ABCD — параллелограмм, то AB || DC и AD || BC. Угол A = 60°. Биссектриса AM делит угол A пополам, значит, \( \angle BAM = \angle MAD = 60°/2 = 30° \).
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник ABM. \( AB = 4 \). Так как AD || BC, то \( \angle AMB = \angle MAD = 30° \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AM).
3. Шаг 3: В треугольнике ABM: \( \angle BAM = 30°, \angle AMB = 30° \). Следовательно, треугольник ABM — равнобедренный с основанием AM. Это означает, что \( AB = BM = 4 \).
4. Шаг 4: Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны равны: \( AD = BC \) и \( AB = DC = 4 \).
5. Шаг 5: \( BC = BM + MC = 4 + MC \).
6. Шаг 6: Рассмотрим треугольник ADM. Из условия \( AM ⊥ DM \), значит, \( \angle AMD = 90° \).
7. Шаг 7: Угол \( \angle DAM = 30° \). В прямоугольном треугольнике ADM, \( \angle ADM = 90° - \angle DAM = 90° - 30° = 60° \).
8. Шаг 8: Угол параллелограмма \( \angle D = 60° \).
9. Шаг 9: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. \( \angle A + \angle B = 180° \). \( 60° + \angle B = 180° \) \( \angle B = 120° \).
10. Шаг 10: Угол \( \angle C = \angle A = 60° \) и \( \angle D = \angle B = 120° \).
11. Шаг 11: Рассмотрим треугольник CDM. \( \angle MDC = 60° \) (так как \( \angle ADC = 120° \) и \( \angle ADM = 60° \), это означает, что \( \angle MDC = \angle ADC - \angle ADM = 120° - 60° = 60° \)).
12. Шаг 12: В параллелограмме \( \angle BCD = \angle A = 60° \).
13. Шаг 13: В треугольнике CDM: \( \angle MCD = 60° \) и \( \angle MDC = 60° \). Следовательно, треугольник CDM — равносторонний.
14. Шаг 14: Так как DC = 4, то CM = MD = 4.
15. Шаг 15: Теперь найдем длину стороны BC: \( BC = BM + MC = 4 + 4 = 8 \).
16. Шаг 16: Следовательно, стороны параллелограмма равны \( AB = DC = 4 \) и \( BC = AD = 8 \).
17. Шаг 17: Периметр параллелограмма равен \( P = 2(AB + BC) = 2(4 + 8) = 2 × 12 = 24 \).

Ответ: 24