Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 17. Площадь параллелограмма ABCD равна 30. Точка Е — середина стороны CD. Найдите площадь трапеции ABED.Фото задания

Ответ:

Краткая запись:

  • Площадь параллелограмма ABCD = 30.
  • E — середина CD.
  • Найти: Площадь трапеции ABED — ?
Краткое пояснение: Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Поскольку E — середина CD, то DE = EC = 0.5 CD. Трапеция ABED и треугольник ABE имеют общую высоту, и основание AB параллелограмма равно CD.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Площадь параллелограмма \( S_{ABCD} = \text{основание} \times \text{высота} \). Пусть высота, проведенная к основанию CD, равна h. Тогда \( S_{ABCD} = CD \times h = 30 \).
  2. Шаг 2: Точка E — середина CD, значит, \( DE = \frac{1}{2} CD \).
  3. Шаг 3: Площадь трапеции ABED можно найти как площадь параллелограмма ABCD минус площадь треугольника BEC.
  4. Шаг 4: Треугольник BEC имеет основание EC, которое равно \( \frac{1}{2} CD \), и ту же высоту h, что и параллелограмм ABCD (так как E лежит на CD, а высота проводится перпендикулярно к CD).
  5. Шаг 5: Площадь треугольника BEC равна \( S_{BEC} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times EC \times h = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} CD) \times h = \frac{1}{4} (CD \times h) \).
  6. Шаг 6: Так как \( CD \times h = 30 \), то \( S_{BEC} = \frac{1}{4} \times 30 = 7.5 \).
  7. Шаг 7: Площадь трапеции ABED равна площади параллелограмма ABCD минус площадь треугольника BEC:
    \( S_{ABED} = S_{ABCD} - S_{BEC} = 30 - 7.5 = 22.5 \).
  8. Альтернативный подход: Площадь трапеции ABED равна сумме площадей треугольника ABD и треугольника BDE.
  9. Шаг 8: Площадь треугольника ABD равна половине площади параллелограмма ABCD, так как диагональ BD делит параллелограмм на два равных треугольника:
    \( S_{ABD} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times 30 = 15 \).
  10. Шаг 9: Площадь треугольника BDE. Основание DE равно \( \frac{1}{2} CD \). Высота этого треугольника, проведенная к основанию DE (или его продолжению), равна высоте параллелограмма h.
  11. Шаг 10: \( S_{BDE} = \frac{1}{2} \times DE \times h = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} CD) \times h = \frac{1}{4} (CD \times h) = \frac{1}{4} \times 30 = 7.5 \).
  12. Шаг 11: Площадь трапеции ABED = \( S_{ABD} + S_{BDE} = 15 + 7.5 = 22.5 \).

Ответ: 22.5