171. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине О, точки М и N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что точка О - середина отрезка МN.

Так как О - середина АВ и CD, то AO = OB и CO = OD. Поскольку M и N - середины AC и BD, то AM = MC и BN = ND. Рассмотрим четырехугольник AMON. В четырехугольнике AMON, точка О делит отрезки AC и BD пополам. Следовательно, MO = (1/2) * AD и NO = (1/2) * BC. Поскольку AD = BC (из условия), то MO = NO. Так как точка O делит отрезки AC и BD пополам, она является серединой MN.