172. Стороны равностороннего треугольника ABC продолжены, как показано на рисунке 100, на равные отрезки AD, CE, BF. Докажите, что треугольник DEF - равносторонний.

Так как треугольник ABC равносторонний, то AB = BC = CA и углы A, B и C равны 60 градусам. По условию AD = CE = BF. Рассмотрим треугольники ADF, BED и CFE. У них AD = CE = BF, AF = BD = CE, и углы между этими сторонами равны 120 градусам (смежные с углами равностороннего треугольника). Следовательно, треугольники ADF, BED и CFE равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что DF = DE = EF, то есть треугольник DEF равносторонний.