18. (20 баллов) Задача на оптимизацию: из проволоки длиной 48 см нужно согнуть прямоугольник наибольшей площади. Найдите его стороны.

Пусть стороны прямоугольника равны \(x\) и \(y\) см. По условию периметр равен 48 см, поэтому \(2x+2y=48\), откуда \(y=24-x\).

Площадь равна \(S=xy=x(24-x)=-(x-12)^2+144\). Поскольку квадрат неотрицателен, наибольшее значение площади достигается при \(x=12\), тогда \(y=24-12=12\).

Ответ: стороны прямоугольника — 12 см и 12 см.