18. (3 балла) Построить фигуру, ограниченную графиками \( y = x^2 \), \( y = x + 2 \) и при помощи интеграла найти её площадь.

Построение фигуры и вычисление площади

1. Построение графиков:

• \( y = x^2 \) — парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх.
• \( y = x + 2 \) — прямая, проходящая через точки \( (0; 2) \) и \( (-2; 0) \).

2. Нахождение точек пересечения графиков:

Чтобы найти точки, где графики пересекаются, приравняем их уравнения:

\( x^2 = x + 2 \)

Перенесём всё в одну часть:

\( x^2 - x - 2 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). \( \sqrt{D} = 3 \).

Найдём корни \( x \):

\( x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \)

\( x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \)

Теперь найдём соответствующие значения \( y \):

При \( x = -1 \): \( y = (-1)^2 = 1 \) (или \( y = -1 + 2 = 1 \)). Точка пересечения: \( (-1; 1) \).

При \( x = 2 \): \( y = 2^2 = 4 \) (или \( y = 2 + 2 = 4 \)). Точка пересечения: \( (2; 4) \).

3. Вычисление площади фигуры:

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми \( y = f(x) \) и \( y = g(x) \) на отрезке \( [a; b] \), где \( f(x) \ge g(x) \) на этом отрезке, вычисляется по формуле:

\( S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx \)

В нашем случае \( a = -1 \) и \( b = 2 \). На интервале \( [-1; 2] \) прямая \( y = x + 2 \) находится выше параболы \( y = x^2 \).

\( S = \int_{-1}^2 ((x+2) - x^2) dx \)

\( S = \int_{-1}^2 (-x^2 + x + 2) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^2 \)

Подставим верхний предел интегрирования \( x = 2 \):

\( F(2) = -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2) = -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18 - 8}{3} = \frac{10}{3} \)

Подставим нижний предел интегрирования \( x = -1 \):

\( F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) = -\frac{-1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{2 + 3 - 12}{6} = \frac{5 - 12}{6} = -\frac{7}{6} \)

Площадь равна разности значений:

\( S = F(2) - F(-1) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} \)

Сократим дробь:

\( S = \frac{9}{2} = 4.5 \)

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{9}{2} \) или 4.5.