18. Из точки S вне плоскости α проведены к ней три равные наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите, что основание перпендикуляра O является центром окружности, описанной около треугольника ABC.

Треугольники SOA, SOB и SOC прямоугольные: SO перпендикулярна плоскости α, а OA, OB, OC лежат в этой плоскости.

По теореме Пифагора:

OA² = SA² − SO², OB² = SB² − SO², OC² = SC² − SO².

Поскольку SA = SB = SC, получаем OA = OB = OC. Значит, O равноудалена от вершин A, B и C, то есть является центром окружности, описанной около треугольника ABC.