18. На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение:

Площадь треугольника можно найти, используя формулу: \( S = \frac{1}{2}  bh \), где \(b\) — основание, \(h\) — высота.

Рассмотрим треугольник на клетчатой бумаге.

• Вариант 1: Находим основание и высоту.
• Можно взять одну из сторон треугольника за основание. Пусть основанием будет самая нижняя сторона, которая состоит из 4 клеток. Значит, основание \(b = 4\).
• Высота, проведенная к этому основанию, будет равна 3 клеткам. Значит, высота \(h = 3\).
• Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2}  4  3 = \frac{1}{2}  12 = 6 \).
• Вариант 2: Метод Гаусса (формула для многоугольников на сетке).
• Количество внутренних клеток (I) = 6.
• Количество узлов на границе (B) = 8.
• Площадь = \(I + \frac{B}{2} - 1\) = \(6 + \frac{8}{2} - 1\) = \(6 + 4 - 1 = 9\). Этот метод не подходит для данного треугольника, так как его вершины не находятся точно на узлах сетки.
• Вариант 3: Вычитание площадей.
• Опишем прямоугольник вокруг треугольника. Стороны прямоугольника будут равны 4 клеткам и 3 клеткам. Его площадь равна \(4  3 = 12\) квадратных клеток.
• Из этого прямоугольника нужно вычесть площади трех прямоугольных треугольников, которые находятся вне исходного треугольника, но внутри прямоугольника.
• Площадь первого прямоугольного треугольника: \(\frac{1}{2}  2  3 = 3\).
• Площадь второго прямоугольного треугольника: \(\frac{1}{2}  4  1 = 2\).
• Площадь третьего прямоугольного треугольника: \(\frac{1}{2}  2  2 = 2\).
• Общая площадь вычитаемых треугольников: \(3 + 2 + 2 = 7\).
• Площадь исходного треугольника: \(12 - 7 = 5\).

Ошибка в первом методе. Перепроверим длину основания и высоту.

Если взять основание, равное 3 клеткам (слева), то высота будет равна 4 клеткам. Площадь = \(\frac{1}{2}  3  4 = 6\).

Если взять основание, равное 5 клеткам (нижняя сторона), то высота будет равна 3 клеткам. Площадь = \(\frac{1}{2}  5  3 = 7.5\).

Давайте точно посчитаем количество клеток:

Нижняя сторона = 4 клетки. Высота = 3 клетки. Площадь = \(\frac{1}{2}  4  3 = 6\).

Левая сторона = 3 клетки. Высота = 4 клетки. Площадь = \(\frac{1}{2}  3  4 = 6\).

Верхняя сторона. Длина = \(\sqrt{(4-2)^2 + (3-1)^2} =   =  2^2+2^2 =   8 = 2 \). Высоту сложно определить.

Вернемся к прямоугольнику 4х3. Его площадь 12. Вычитаем три треугольника:

• Треугольник 1 (слева): катеты 3 и 2. Площадь = \(\frac{1}{2}  3  2 = 3\).
• Треугольник 2 (снизу): катеты 4 и 1. Площадь = \(\frac{1}{2}  4  1 = 2\).
• Треугольник 3 (справа): катеты 1 и 2. Площадь = \(\frac{1}{2}  1  2 = 1\).
• Сумма площадей вычитаемых треугольников = \(3 + 2 + 1 = 6\).
• Площадь исходного треугольника = \(12 - 6 = 6\).

Ответ: 6