21. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 220 км и возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 9 часов, а пункт назначения теплоход возвращается через 27 часов после отплытия из вела.

Решение:

Пусть \(v\) — скорость теплохода в стоячей воде (км/ч), а \(t_1\) — время движения по течению, \(t_2\) — время движения против течения.

• Скорость теплохода по течению: \(v + 4\) км/ч.
• Скорость теплохода против течения: \(v - 4\) км/ч.
• Время движения по течению: \(t_1 = \frac{220}{v+4}\) часов.
• Время движения против течения: \(t_2 = \frac{220}{v-4}\) часов.
• Общее время в пути с учетом стоянки: \(t_{общ} = t_1 + t_2 + 9\) часов.
• По условию, общее время равно 27 часов:
• \[ \frac{220}{v+4} + \frac{220}{v-4} + 9 = 27 \]
• \[ \frac{220}{v+4} + \frac{220}{v-4} = 27 - 9 \]
• \[ \frac{220}{v+4} + \frac{220}{v-4} = 18 \]
• Разделим обе части уравнения на 22:
• \[ \frac{10}{v+4} + \frac{10}{v-4} = \frac{18}{22} = \frac{9}{11} \]
• Приведем дроби в левой части к общему знаменателю \((v+4)(v-4) = v^2 - 16\):
• \[ \frac{10(v-4) + 10(v+4)}{(v+4)(v-4)} = \frac{9}{11} \]
• \[ \frac{10v - 40 + 10v + 40}{v^2 - 16} = \frac{9}{11} \]
• \[ \frac{20v}{v^2 - 16} = \frac{9}{11} \]
• Перекрестно умножим:
• \[ 11  20v = 9(v^2 - 16) \]
• \[ 220v = 9v^2 - 144 \]
• Приведем к стандартному квадратному уравнению:
• \[ 9v^2 - 220v - 144 = 0 \]
• Решим квадратное уравнение через дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\)
• \[ D = (-220)^2 - 4  9  (-144) = 48400 + 5184 = 53584 \]
• \[ \sqrt{D} = \sqrt{53584} = 231.5 \]
• \[ v = \frac{-b  \sqrt{D}}{2a} \]
• \[ v_1 = \frac{220 + 231.5}{2  9} = \frac{451.5}{18}  25.08 \]
• \[ v_2 = \frac{220 - 231.5}{18} = \frac{-11.5}{18} \]
• Так как скорость не может быть отрицательной, берем положительный корень.
• Проверим, что \(v > 4\) (скорость теплохода должна быть больше скорости течения для движения против течения).
• \(25.08 > 4\), условие выполняется.

Ответ: 25.08