18. Решите уравнение: \(\sqrt{3}\sin2x + 3\cos2x = 0.\)

Решение:

Перенесём \( 3\cos2x \) в правую часть:

\( \sqrt{3}\sin2x = -3\cos2x \)

Разделим обе части на \( \cos2x \) (при условии, что \( \cos2x \neq 0 \). Если \( \cos2x = 0 \), то \( \sin2x = \pm 1 \), и уравнение \( \sqrt{3}(\pm 1) = 0 \) не выполняется, значит \( \cos2x \neq 0 \) и мы можем делить).

\( \frac{\sqrt{3}\sin2x}{\cos2x} = -3 \)

\( \sqrt{3}\tan2x = -3 \)

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \):

\( \tan2x = \frac{-3}{\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{3} = -\sqrt{3} \)

Теперь найдём \( 2x \). Тангенс равен \( -\sqrt{3} \) при \( 2x = \frac{2\pi}{3} + \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Разделим обе части на 2, чтобы найти \( x \):

\( x = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi n}{2} \), где \( n \in \mathbb{Z} \)