18. Тип 17 № 602 i Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получили 255. Какое число задумали? Напишите свое решение.

Решение:

Пусть задуманное двузначное число равно \( 10a + b \), где \( a \) — цифра десятков, \( b \) — цифра единиц. \( a \) может быть от 1 до 9, \( b \) — от 0 до 9.

Произведение цифр равно \( a \times b \).

По условию задачи: \( (10a + b) \times (a \times b) = 255 \).

Число 255 делится на 3 и на 5. \( 255 = 3 \times 5 \times 17 \).

Так как \( 10a + b \) — двузначное число, то \( 10 \le 10a + b \le 99 \).

Также \( a \times b \) — произведение цифр, оно может быть от \( 1 \times 0 = 0 \) до \( 9 \times 9 = 81 \).

Рассмотрим возможные значения множителей числа 255.

Возможные пары множителей для 255:

• 1 и 255 (255 — трехзначное, не подходит)
• 3 и 85 (85 — двузначное число, \( a=8, b=5 \). Произведение цифр \( 8 \times 5 = 40 \). \( 85 \times 40 \ne 255 \))
• 5 и 51 (51 — двузначное число, \( a=5, b=1 \). Произведение цифр \( 5 \times 1 = 5 \). \( 51 \times 5 = 255 \). Это подходит!)
• 15 и 17 (15 — двузначное число, \( a=1, b=5 \). Произведение цифр \( 1 \times 5 = 5 \). \( 15 \times 5 = 75 \ne 255 \)). 17 — двузначное число, \( a=1, b=7 \). Произведение цифр \( 1 \times 7 = 7 \). \( 17 \times 7 = 119 \ne 255 \)).

Проверим вариант \( 10a + b = 51 \) и \( a \times b = 5 \).

Если \( 10a + b = 51 \), то \( a=5 \) и \( b=1 \).

Произведение цифр \( a \times b = 5 \times 1 = 5 \).

Проверим условие: \( 51 \times 5 = 255 \).

Условие выполняется.

Ответ: 51.