18. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 76, HC = 19 и ∠ACB = 80°. Найдите ∠AMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В прямоугольном треугольнике BHC, ∠BHC = 90°, ∠C = 80°, HC = 19.

Используя тригонометрические функции:

tg(80°) = BH / HC => BH = HC * tg(80°) = 19 * tg(80°).

cos(80°) = HC / BC => BC = HC / cos(80°) = 19 / cos(80°).

BM — медиана, значит M — середина AC. AC = 76, значит AM = MC = AC / 2 = 76 / 2 = 38.

В треугольнике BCM: BC = 19 / cos(80°), MC = 38, ∠C = 80°.

Используем теорему косинусов для нахождения BM:

BM² = BC² + MC² - 2 * BC * MC * cos(80°)

BM² = (19 / cos(80°))² + 38² - 2 * (19 / cos(80°)) * 38 * cos(80°)

BM² = (19² / cos²(80°)) + 38² - 2 * 19 * 38

BM² = 361 / cos²(80°) + 1444 - 1444

BM² = 361 / cos²(80°)

BM = 19 / cos(80°).

Мы получили BC = BM. Это означает, что треугольник BCM равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике BCM, углы при основании CM равны:

∠BMC = ∠BCM = ∠C = 80°.

Ответ: 80