186. Докажите, что: а) сумма двух чётных функций есть функция чётная; б) сумма двух нечётных функций — функция нечётная.

Пусть функции определены на общей области, симметричной относительно нуля.

1. Если \(f\) и \(g\) чётные, то \(f(-x)=f(x)\) и \(g(-x)=g(x)\). Поэтому \((f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)\). Значит, сумма чётная.
2. Если \(f\) и \(g\) нечётные, то \(f(-x)=-f(x)\) и \(g(-x)=-g(x)\). Тогда \((f+g)(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x)\). Значит, сумма нечётная.