19. (3 балла) Найдите промежутки монотонности и экстремумы функции: f(x) = 6x+x³

Решение:

Чтобы найти промежутки монотонности и экстремумы функции \( f(x) = 6x + x^3 \), нужно найти первую производную и проанализировать её знак.

1. Найдем первую производную функции:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(6x + x^3) = 6 + 3x^2 \]

2. Определим точки, в которых производная равна нулю или не существует. Производная \( f'(x) = 6 + 3x^2 \) существует для всех \( x \).

Приравняем производную к нулю:

\[ 6 + 3x^2 = 0 \]
\[ 3x^2 = -6 \]
\[ x^2 = -2 \]

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

3. Проанализируем знак производной. Так как \( 3x^2 \) всегда неотрицательно, то \( 6 + 3x^2 \) всегда положительно для любого действительного \( x \).

• \( f'(x) > 0 \) для всех \( x \in \mathbb{R} \).

4. Интерпретируем результат:

• Так как производная \( f'(x) \) всегда положительна, функция \( f(x) \) возрастает на всей числовой оси.
• У функции нет экстремумов, поскольку она не меняет своего направления возрастания.

Ответ:

• Промежутки монотонности: функция возрастает на \( (-\infty; +\infty) \).
• Экстремумы: отсутствуют.