22. (3 балла) Найти корни уравнения, принадлежащие промежутку [- π/2; π/2]

Решение:

Дано уравнение: \( \sqrt{3} \sin^2 x - 3\sin x\cos x = 0 \).

Вынесем общий множитель \( \sin x \) за скобки:

\[ \sin x (\sqrt{3} \sin x - 3\cos x) = 0 \]

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

\[ \begin{cases} \sin x = 0 \\ \sqrt{3} \sin x - 3\cos x = 0 \end{cases} \]

1. Решим первое уравнение \( \sin x = 0 \):

Корни этого уравнения: \( x = \pi n \), где \( n \) — любое целое число.

Из них на промежутке \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \) лежит только \( x = 0 \) (при \( n = 0 \)).

2. Решим второе уравнение \( \sqrt{3} \sin x - 3\cos x = 0 \).

Если \( \cos x = 0 \), то \( \sin x = \pm 1 \). Подставив в уравнение, получим \( \sqrt{3}(\pm 1) - 0 = 0 \), что неверно. Значит, \( \cos x
e 0 \).

Разделим обе части уравнения на \( \cos x \):

\[ \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} - 3 = 0 \]
\[ \sqrt{3} \tan x = 3 \]
\[ \tan x = \frac{3}{\sqrt{3}} \]
\[ \tan x = \sqrt{3} \]

Корни этого уравнения: \( x = \frac{\pi}{3} + \pi k \), где \( k \) — любое целое число.

Найдем корни, принадлежащие промежутку \( [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \).

• При \( k = 0 \), \( x = \frac{\pi}{3} \). Это значение лежит на промежутке.
• При \( k = 1 \), \( x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} \) — вне промежутка.
• При \( k = -1 \), \( x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3} \) — вне промежутка.

Итак, корни уравнения на заданном промежутке: \( 0 \) и \( \frac{\pi}{3} \).

Ответ: \( 0; \frac{\pi}{3} \).