21. (3 балла) Решить систему уравнений: log2x + log2y=2, log3 (y-x)=1

Решение:

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 2 \\ \log_3 (y - x) = 1 \end{cases} \]

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ):

• \( x > 0 \)
• \( y > 0 \)
• \( y - x > 0 \implies y > x \)

Теперь преобразуем первое уравнение системы, используя свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \):

\[ \log_2 (xy) = 2 \]

Перейдем от логарифмического уравнения к показательному:

\[ xy = 2^2 \]
\[ xy = 4 \]

Второе уравнение:

\[ \log_3 (y - x) = 1 \]

Перейдем к показательному виду:

\[ y - x = 3^1 \]
\[ y - x = 3 \]

Теперь у нас есть новая система уравнений:

\[ \begin{cases} xy = 4 \\ y - x = 3 \end{cases} \]

Выразим \( y \) из второго уравнения:

\[ y = x + 3 \]

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ x(x + 3) = 4 \]

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

\[ x^2 + 3x = 4 \]
\[ x^2 + 3x - 4 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \). Корни:

\[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
\[ x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Проверим найденные значения \( x \) на соответствие ОДЗ:

• Для \( x = 1 \): \( x > 0 \) — выполняется. Найдем соответствующее \( y \): \( y = x + 3 = 1 + 3 = 4 \). Проверим \( y > 0 \) (4 > 0, выполняется) и \( y > x \) (4 > 1, выполняется). Значит, \( (1, 4) \) — решение.
• Для \( x = -4 \): \( x > 0 \) — не выполняется. Этот корень не подходит.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: (1; 4).