19.3 Даны две точки А и В. Закрасьте на плоскости все точки С так, чтобы в треугольнике АВС сторона АВ была наибольшей (рис. 19.43).

Решение:

Для того чтобы сторона АВ была наибольшей в треугольнике АВС, точка С должна располагаться таким образом, чтобы расстояние от С до отрезка АВ было максимально возможным, при этом не нарушая условий формирования треугольника (то есть С не должна лежать на прямой АВ).

Если рассматривать А и В как фиксированные точки, то для того, чтобы отрезок АВ был наибольшей стороной, длины сторон АС и ВС должны быть как можно меньше. Это достигается, когда точка С находится как можно ближе к отрезку АВ.

Однако, если мы ищем точки С, для которых АВ является *наибольшей* стороной, это означает, что АС < АВ и ВС < АВ.

Если мы хотим, чтобы именно АВ была самой длинной стороной, то нам нужно, чтобы точки С были расположены так, чтобы углы при вершинах А и В были меньше 90 градусов, а угол при вершине С был наименьшим. Это происходит, когда точка С находится близко к отрезку АВ.

Если же рассматривать задачу как нахождение точек С, для которых АВ будет иметь наибольшую длину *среди всех возможных треугольников* с вершинами А, В и С, то таких точек не существует, так как длину отрезка АВ мы можем задать сами. Однако, если А и В фиксированы, и мы ищем точки С, то условие «АВ была наибольшей» означает, что АС < АВ и ВС < АВ. Это выполняется для точек, находящихся вне кругов с центрами в А и В, радиусы которых равны АВ, при условии, что C не лежит на прямой AB.

В контексте задания, где предлагается закрасить точки, скорее всего, имеется в виду, что А и В — это точки, а С — точка, которую нужно найти. Чтобы АВ была наибольшей стороной, точка С должна находиться на таком расстоянии от АВ, чтобы углы при А и В были острыми.

Ответ: Точки С должны располагаться таким образом, чтобы углы при вершинах А и В треугольника АВС были острыми. Иными словами, точка С должна находиться вне кругов с центрами в А и В, радиусы которых равны длине отрезка АВ, за исключением самой прямой АВ.