19.7 В четырёхугольнике ABCD нет параллельных сторон. Где находятся такие точки М, что AM = BM, CM = DM? Сколько может быть таких точек (рис. 19.47)?

Решение:

Условие AM = BM означает, что точка М равноудалена от вершин А и В. Множество таких точек — это серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Условие CM = DM означает, что точка М равноудалена от вершин С и D. Множество таких точек — это серединный перпендикуляр к отрезку CD.

Следовательно, точка М должна лежать на пересечении серединного перпендикуляра к отрезку АВ и серединного перпендикуляра к отрезку CD.

В общем случае, два серединных перпендикуляра к сторонам четырёхугольника могут пересекаться в одной точке, быть параллельными (и тогда пересечения нет) или совпадать (что маловероятно для произвольного четырёхугольника).

Однако, если четырёхугольник имеет осевую симметрию, то серединные перпендикуляры к противоположным сторонам могут пересекаться в одной точке.

В данном случае, так как нет параллельных сторон, это не трапеция. Для произвольного четырёхугольника, серединные перпендикуляры к сторонам АВ и CD могут пересекаться в одной точке.

Ответ: Точки М находятся на пересечении серединного перпендикуляра к отрезку АВ и серединного перпендикуляра к отрезку CD. Таких точек может быть одна или ноль (если серединные перпендикуляры параллельны).