19.6 Дан треугольник АВС. Где могут находиться все такие точки О, что АО = BO = CO? Сколько может быть таких точек (рис. 19.46)?

Решение:

Условие AO = BO означает, что точка О равноудалена от точек А и В. Множество таких точек — это серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Условие BO = CO означает, что точка О равноудалена от точек В и С. Множество таких точек — это серединный перпендикуляр к отрезку ВС.

Таким образом, точка О должна лежать на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам АВ и ВС.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

Следовательно, точка О — это центр окружности, проходящей через все три вершины треугольника А, В и С.

В любом невырожденном треугольнике существует ровно одна такая точка.

Ответ: Точки О могут находиться в центре окружности, описанной около треугольника АВС. Таких точек может быть ровно одна.