19.5 Дана прямая и две точки А и В по одну сторону от неё (рис. 19.45). Может ли на этой прямой быть больше одной точки М такой, что AM = BM?

Решение:

Условие AM = BM означает, что точка М равноудалена от точек А и В.

Геометрически, множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек (А и В), является серединным перпендикуляром к отрезку АВ.

Если прямая, на которой мы ищем точку М, является серединным перпендикуляром к отрезку АВ, то любая точка на этой прямой будет удовлетворять условию AM = BM. В этом случае таких точек М будет бесконечно много.

Если прямая не является серединным перпендикуляром к отрезку АВ, то она может пересекать серединный перпендикуляр в одной точке или не пересекать его вовсе (если прямая параллельна серединному перпендикуляру, что невозможно, так как серединный перпендикуляр к отрезку не может быть параллелен прямой, на которой лежат концы этого отрезка, если только А и В не совпадают, что не является случаем треугольника).

Таким образом, если прямая пересекает серединный перпендикуляр к отрезку АВ, то существует ровно одна точка М на этой прямой, для которой AM = BM.

Однако, если сама прямая является серединным перпендикуляром к отрезку АВ, то таких точек будет бесконечно много.

Вопрос звучит: «Может ли быть БОЛЬШЕ ОДНОЙ точки М». Да, может, если прямая является серединным перпендикуляром.

Ответ: Да, может. Если данная прямая является серединным перпендикуляром к отрезку АВ, то существует бесконечно много таких точек М.