19.8 Биссектрисы углов А и С треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что эта точка принадлежит также и биссектрисе угла В (рис. 19.48).

Решение:

Дано: Треугольник АВС. Точка О — точка пересечения биссектрис углов А и С.

Доказать: Точка О лежит на биссектрисе угла В.

Доказательство:

1. Свойство биссектрисы: Любая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон этого угла.
2. Точка О и биссектриса А: Так как О лежит на биссектрисе угла А, то расстояние от О до стороны АВ равно расстоянию от О до стороны АС. Обозначим это расстояние как $$d_1$$.
3. Точка О и биссектриса С: Так как О лежит на биссектрисе угла С, то расстояние от О до стороны АС равно расстоянию от О до стороны СВ. Обозначим это расстояние как $$d_2$$.
4. Сравнение расстояний: Из пунктов 2 и 3 следует, что $$d_1 = d_2$$. То есть, расстояние от точки О до стороны АВ равно расстоянию от точки О до стороны ВС.
5. Признак биссектрисы: Точка, равноудаленная от двух сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла.
6. Вывод: Так как точка О равноудалена от сторон АВ и ВС, то она лежит на биссектрисе угла В.

Что и требовалось доказать.