19. Начертите прямую и отметьте на ней точки A и B так, чтобы длина отрезка AB была равной 8 см. Найдите на прямой AB все точки, для каждой из которых сумма расстояний до концов отрезка AB равна: 1) 8 см; 2) 10 см; 3) 7 см.

Пусть A имеет координату 0, а B — 8. Для точки с координатой x сумма расстояний до A и B равна |x| + |x − 8|. На отрезке AB эта сумма равна 8, а вне отрезка — больше 8.

1. Сумма равна 8 для каждой точки отрезка AB, включая его концы. Таких точек бесконечно много.

2. Для точки левее A сумма равна 8 + 2·AX, а для точки правее B — 8 + 2·BX. Чтобы сумма была 10, нужно AX = 1 см или BX = 1 см. Значит, подходят две точки: по одной на расстоянии 1 см снаружи от каждого конца отрезка.

3. Сумма расстояний до концов отрезка не может быть меньше AB = 8 см. Поэтому точек, для которых сумма равна 7 см, нет.