19. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB = 20, ∠C = 120°. Найдите высоту, проведённую из вершины B.

Пусть \(AC=BC=s\). По теореме косинусов для стороны AB:

\(20^2=s^2+s^2-2s^2\cos 120^\circ=2s^2+s^2=3s^2\), значит \(s=\frac{20}{\sqrt{3}}\).

Площадь через две равные стороны и угол между ними: \(S=\frac12s^2\sin120^\circ=\frac12\cdot\frac{400}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{100\sqrt3}{3}\).

Если h — высота из B к прямой AC, то \(S=\frac12 AC\cdot h\), поэтому \(h=\frac{2S}{AC}=\frac{2\cdot100\sqrt3/3}{20/\sqrt3}=10\).

Ответ: высота из B равна 10.