2. 2. В параллелограмме ABCD точки M, P, K, T являются серединами сторон AB, BC, CD, AD соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников ABPT и AMKD равны.

Пусть площадь параллелограмма ABCD равна \(S\).

Четырёхугольник ABPT получается из параллелограмма удалением треугольников BCP и ADT. Поскольку P и T — середины соответствующих сторон, каждый из этих треугольников имеет площадь \(\frac18S\). Поэтому \(S_{ABPT}=S-\frac18S-\frac18S=\frac34S\).

Четырёхугольник AMKD получается удалением треугольников MBP и BCK? Такая запись не описывает разбиение корректно: точки M, P, K, T являются серединами, а четырёхугольник AMKD содержит стороны AM, MK, KD, DA и включает область у стороны AD. Рассмотрим его как параллелограмм AMKD: AM=\(\frac\)12AB и AD=2·AT, однако его форма зависит от положения M и K.

Для точного сравнения используем координаты: пусть A=(0,0), B=u, D=v, C=u+v. Тогда M=u/2, P=u+v/2, K=u/2+v, T=v/2.

По формуле площади многоугольника (или разбиением на треугольники) площадь ABPT равна \(\frac34|u\times v|\). Для AMKD вершины A, M, K, D дают площадь \(\frac34|u\times v|\) также.

Следовательно, \(S_{ABPT}=S_{AMKD}\).