2. В параллелограмме ABCD точки M и K — середины сторон BC и AD соответственно. Докажите, что площадь четырёхугольника ABMK равна площади треугольника ACD.

Обозначим площадь параллелограмма ABCD через \(S\).

Так как M — середина BC, отрезок BM равен половине BC. Треугольник ABM имеет основание AB и высоту, равную высоте параллелограмма, проведённой к AB. Поэтому его площадь равна половине площади параллелограмма: \(S_{ABM}=\frac12S\).

Аналогично, K — середина AD, поэтому треугольник ADK имеет основание AK, равное половине AD, и высоту, равную высоте параллелограмма к AD. Следовательно, \(S_{ADK}=\frac14S\).

Четырёхугольник ABMK вместе с треугольниками ADK и DCM разбивает параллелограмм. Треугольник DCM также имеет площадь \(\frac14S\), поскольку DC=AB, а CM=\(\frac\)12BC.

Значит, \(S_{ABMK}=S-\frac14S-\frac14S=\frac12S\). Диагональ AC делит параллелограмм на равные по площади треугольники, поэтому \(S_{ACD}=\frac12S\). Следовательно, площади равны.

Доказано: \(S_{ABMK}=S_{ACD}\).