2. [4 балл] Есепті теңдеулер жүйесін құрып шығарыңыз. Тік бұрышты үшбұрыштың ауданы 85 см²-ге, ал катеттері ұзындықтарының айырмасы 7 см-ге тең. Үшбұрыштың гипотенузасын табыңыз.

Катеттерді \(x\) см және \(x+7\) см деп белгілейміз. Үшбұрыш ауданы мен катеттер айырмасынан жүйе құрамыз:

\(\begin{cases}\dfrac{x(x+7)}{2}=85,\\(x+7)-x=7.\end{cases}\)

Бірінші теңдеуден \(x^2+7x-170=0\). Оның түбірлері \(10\) және \(-17\); ұзындық теріс болмайтындықтан, катеттері 10 см және 17 см.

Пифагор теоремасы бойынша гипотенуза \(c=\sqrt{10^2+17^2}=\sqrt{389}\) см.

Жауабы: \(\sqrt{389}\) см (шамамен 19,72 см).

Перевод на русский: Обозначим катеты через \(x\) см и \(x+7\) см. Из условия площади получаем \(x(x+7)/2=85\), то есть \(x^2+7x-170=0\). Подходящий корень — 10, поэтому катеты равны 10 см и 17 см. По теореме Пифагора гипотенуза равна \(\sqrt{10^2+17^2}=\sqrt{389}\) см, примерно 19,72 см.