2. (4 балла) Решите неравенство:

Решение:

1. \( 27^x \ge \left(\frac{1}{3}\right)^{x+2} \)
   Представим оба основания в виде степени 3:
   \( (3^3)^x \ge (3^{-1})^{x+2} \)
   \( 3^{3x} \ge 3^{-x-2} \)
   Так как основание степени \( 3 > 1 \), приравниваем показатели:
   \( 3x \ge -x - 2 \)
   \( 3x + x \ge -2 \)
   \( 4x \ge -2 \)
   \( x \ge -\frac{2}{4} \)
   \( x \ge -0.5 \)
2. \( (6-x)(x+1) > 0 \)
   Рассмотрим знаки множителей:
   Если \( x < -1 \), то \( 6-x > 0 \) и \( x+1 < 0 \), произведение отрицательное.
   Если \( -1 < x < 6 \), то \( 6-x > 0 \) и \( x+1 > 0 \), произведение положительное.
   Если \( x > 6 \), то \( 6-x < 0 \) и \( x+1 > 0 \), произведение отрицательное.
   Следовательно, \( -1 < x < 6 \).
3. \( \log_{0.2} (x-1) > \log_{0.2} 4 \)
   Так как основание логарифма \( 0.2 < 1 \), знак неравенства меняется:
   \( x-1 < 4 \)
   \( x < 5 \)
   Учитывая область определения логарифма \( x-1 > 0 \), то есть \( x > 1 \), получаем: \( 1 < x < 5 \).

Ответ: 1) \( x \ge -0.5 \); 2) \( -1 < x < 6 \); 3) \( 1 < x < 5 \).