2. Дана функция \(f(x)=4+3x-x^2\). Не строя график, найдите: а) координаты точек пересечения графика с осью абсцисс; б) координаты точек пересечения графика с осью ординат; в) координаты точек пересечения графика с прямой \(y=3x+4\); г) наибольшее значение функции.

а) Пересечение с осью абсцисс. На этой оси \(y=0\), поэтому решаем \(4+3x-x^2=0\). Получаем \(x^2-3x-4=0\), то есть \((x-4)(x+1)=0\). Следовательно, точки пересечения: \((-1,0)\) и \((4,0)\).

б) Пересечение с осью ординат. На этой оси \(x=0\); тогда \(f(0)=4\). Точка: \((0,4)\).

в) Пересечение с прямой \(y=3x+4\). Приравняем выражения для \(y\): \(4+3x-x^2=3x+4\). Отсюда \(-x^2=0\), значит, \(x=0\), \(y=4\). Точка: \((0,4)\).

г) Наибольшее значение. Квадратичная функция имеет вид \(f(x)=-x^2+3x+4\); ветви параболы направлены вниз, поэтому максимум достигается при \(x=-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}\). Подставим: \(f\!\left(\frac{3}{2}\right)=4+\frac{9}{2}-\frac{9}{4}=\frac{25}{4}\).

Ответ: а) \((-1,0)\), \((4,0)\); б) \((0,4)\); в) \((0,4)\); г) наибольшее значение равно \(\frac{25}{4}\).