7*. Найдите такое значение \(a\), при котором отрезок прямой \(x=a\), концы которого лежат на линиях \(y=-x^2\) и \(y=(x-1)^2\), имеет наименьшую длину.

При \(x=a\) ординаты концов отрезка равны \(-a^2\) и \((a-1)^2\). Длина вертикального отрезка:

\(L(a)=(a-1)^2-(-a^2)=2a^2-2a+1=2\left(a-\frac12\right)^2+\frac12\).

Квадрат неотрицателен и принимает наименьшее значение 0 при \(a=\frac12\). Значит, длина отрезка минимальна при этом значении.

Ответ: \(a=\frac12\).