2. Докажите, что если дробь $\frac{a-b}{a+b}$, где $a$ и $b$ — некоторые натуральные числа, причём $a>b$, несократима, то несократима также и дробь $\frac{a}{b}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 2. Докажите, что если дробь $\frac{a-b}{a+b}$, где $a$ и $b$ — некоторые натуральные числа, причём $a>b$,…$ Фото задания

2. Докажите, что если дробь $\frac{a-b}{a+b}$, где $a$ и $b$ — некоторые натуральные числа, причём $a>b$, несократима, то несократима также и дробь $\frac{a}{b}$.

Accepted Answer

Утверждение неверно, поэтому доказать его нельзя. Контрпример: возьмём a = 3, b = 1. Дробь $\frac{a-b}{a+b}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ сократима, а $\frac{a}{b}=\frac{3}{1}$ несократима. Это не опровергает утверждение напрямую, поскольку его предпосылка не выполнена. Но если предпосылка выполнена, общий делитель числителя и знаменателя второй дроби всё равно может быть отличным от 1? Проверим: при $a=5,b=3$, первая дробь $2/8$ сократима; нужен контрпример с первой несократимой и второй сократимой.

Пусть $a=2,b=2$ невозможно из-за $a>b$. Если $a,b$ имеют общий делитель $d>1$, то $a-b$ и $a+b$ тоже делятся на $d$. Значит, если первая дробь несократима, общего делителя у $a$ и $b$ быть не может.

Следовательно, утверждение верно: любой общий делитель чисел a и b делил бы и a − b, и a + b, а значит, дробь $\frac{a-b}{a+b}$ была бы сократима.

Ответ: утверждение доказано.

2. Докажите, что если дробь \(\frac{a-b}{a+b}\), где \(a\) и \(b\) — некоторые натуральные числа, причём \(a>b\), несократима, то несократима также и дробь \(\frac{a}{b}\).

Ответ: