4. Докажите, что при любом натуральном $n>1$ верно неравенство $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 4. Докажите, что при любом натуральном $n>1$ верно неравенство…$ Фото задания

4. Докажите, что при любом натуральном $n>1$ верно неравенство $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}$.

Accepted Answer

В сумме ровно n слагаемых: от $\frac{1}{n+1}$ до $\frac{1}{2n}$. Для каждого индекса $k=n+1,\ldots,2n$ выполняется $k<2n$, поэтому $\frac{1}{k}>\frac{1}{2n}$.

Сложив эти n строгих неравенств, получим

\[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}>n\cdot\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}.\]

Ответ: неравенство доказано.

4. Докажите, что при любом натуральном \(n&gt;1\) верно неравенство \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}&gt;\frac{1}{2}\).

Ответ:

4. Докажите, что при любом натуральном \(n>1\) верно неравенство \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{2n}>\frac{1}{2}\).