2. На гипотенузе прямоугольного треугольника с равными катетами отметили точки O и Z, а на катетах — точки N и D таким образом, что фигура OZND оказалась прямоугольником. Найдите стороны этого прямоугольника, если гипотенуза треугольника равна 30 см, а OZ:ZN = 13:1.

Пусть катеты равны \(a\), а стороны прямоугольника \(OZ=13x\) и \(ZN=x\). В равнобедренном прямоугольном треугольнике расстояние между параллельными гипотенузе отрезками, отсекающими на катетах концы стороны прямоугольника, связано с длиной этой стороны так: при сдвиге линии на расстояние \(x\) её отрезок между катетами уменьшается на \(2x\). Поэтому гипотенуза большого треугольника равна \(13x+2x=15x\).

Отсюда \(15x=30\), значит, \(x=2\) см.

Следовательно, \(ZN=2\) см, а \(OZ=13\cdot2=26\) см.

Ответ: стороны прямоугольника — 26 см и 2 см.