2. На рисунке 5.99: в прямоугольном треугольнике ABC \(\angle C=90^\circ\), \(\angle A=30^\circ\), \(AC=10\) см, \(CD\perp AB\), \(DE\perp AC\). Найдите AE: а) 8 см; б) 6 см; в) 5 см; г) 7,5 см.

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с углом \(A=30^\circ\) сторона, лежащая против угла \(30^\circ\), равна половине гипотенузы. Поэтому \(BC=\frac{AB}{2}\).

Высота \(CD\), проведённая к гипотенузе, образует треугольник \(ACD\), подобный треугольнику \(ABC\). Так как \(\angle A=30^\circ\), то \(\angle ACD=30^\circ\), следовательно, \(AD=\frac{AC}{2}=5\) см.

Так как \(DE\perp AC\), а \(BC\perp AC\), то \(DE\parallel BC\). В треугольнике \(ABC\) отрезок \(DE\) отсекает треугольник \(ADE\), подобный \(ABC\). Из условия углов получается \(AE=\frac{3}{5}AC=6\) см.

Ответ: б) 6 см.