Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 2. Найдите корни уравнение: a) \(\frac{x^2-3x+2}{2-x}=0\) б) \(x+4=\frac{5}{x}\) в)…Фото задания

Ответ:

Задание №2 (а)

Решим уравнение \(\frac{x^2-3x+2}{2-x}=0\).

Сначала найдём корни числителя:

\( x^2-3x+2 = 0 \)

Решим с помощью дискриминанта:

\( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \)

\( \sqrt{D} = 1 \)

\( x_1 = \frac{3+1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( x_2 = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Теперь проверим знаменатель. Он не должен быть равен нулю:

\( 2-x \neq 0 \)

\( x \neq 2 \)

Среди найденных корней числителя есть \( x=2 \), который обращает знаменатель в ноль. Поэтому \( x=2 \) не является корнем уравнения.

Корень \( x=1 \) не обращает знаменатель в ноль.

Ответ: \( x=1 \)

Задание №2 (б)

Решим уравнение \(x+4=\frac{5}{x}\).

  1. Приведём к общему знаменателю (при условии \(x \neq 0\)):

\( \frac{(x+4)x}{x} = \frac{5}{x} \)

\( \frac{x^2+4x}{x} = \frac{5}{x} \)

  1. Умножим обе части на \(x\):

\( x^2+4x = 5 \)

  1. Перенесём все члены в левую часть:

\( x^2+4x-5 = 0 \)

  1. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \)

\( \sqrt{D} = 6 \)

\( x_1 = \frac{-4+6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-4-6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

Оба корня не равны 0, поэтому подходят.

Ответ: \( x=1, x=-5 \)

Задание №2 (в)

Решим уравнение \(\frac{x}{x+5}+\frac{x+5}{x-5}=\frac{50}{x^2-25}\).

Заметим, что \( x^2-25 = (x+5)(x-5) \). Это будет общий знаменатель.

Условия: \( x+5 \neq 0 \) (т.е. \( x \neq -5 \)) и \( x-5 \neq 0 \) (т.е. \( x \neq 5 \)).

  1. Приведём дроби к общему знаменателю \( (x+5)(x-5) \):

\( \frac{x(x-5)}{(x+5)(x-5)} + \frac{(x+5)(x+5)}{(x-5)(x+5)} = \frac{50}{(x+5)(x-5)} \)

  1. Умножим обе части уравнения на \( (x+5)(x-5) \):

\( x(x-5) + (x+5)^2 = 50 \)

  1. Раскроем скобки:

\( x^2-5x + (x^2+10x+25) = 50 \)

\( x^2-5x+x^2+10x+25=50 \)

  1. Приведём подобные члены:

\( 2x^2+5x+25=50 \)

\( 2x^2+5x+25-50=0 \)

\( 2x^2+5x-25=0 \)

  1. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\( D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225 \)

\( \sqrt{D} = 15 \)

\( x_1 = \frac{-5+15}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = 2.5 \)

\( x_2 = \frac{-5-15}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5 \)

  1. Проверим корни на соответствие условиям \( x \neq -5 \) и \( x \neq 5 \).

Корень \( x_1 = 2.5 \) удовлетворяет условиям.

Корень \( x_2 = -5 \) не удовлетворяет условию \( x \neq -5 \), так как знаменатель \( x+5 \) обращается в ноль.

Ответ: \( x=2.5 \)