ЧАСТЬ 2 1. Решите уравнения: а) \(2+\frac{2}{x}=4\) б) \(x+\frac{1}{x}=2\)

Задание №1 (а)

Решим уравнение \(2+\frac{2}{x}=4\).

1. Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

\( \frac{2}{x} = 4 - 2 \)

\( \frac{2}{x} = 2 \)

2. Умножим обе части на \(x\) (при условии, что \(x \neq 0\)):

\( 2 = 2x \)

3. Разделим обе части на 2:

\( x = \frac{2}{2} \)

\( x = 1 \)

Проверка: \(2+\frac{2}{1}=2+2=4\). Верно.

Ответ: \( x=1 \)

Задание №1 (б)

Решим уравнение \(x+\frac{1}{x}=2\).

1. Приведём к общему знаменателю (при условии, что \(x \neq 0\)):

\( \frac{x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} = 2 \)

\( \frac{x^2+1}{x} = 2 \)

2. Умножим обе части на \(x\):

\( x^2+1 = 2x \)

3. Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 - 2x + 1 = 0 \)

4. Это уравнение является полным квадратом разности:

\( (x-1)^2 = 0 \)

5. Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\( x-1 = 0 \)

\( x = 1 \)

Проверка: \(1+\frac{1}{1}=1+1=2\). Верно.

Ответ: \( x=1 \)