2. Радиус цилиндра равен 4, а диагональ осевого сечения 12. Найти площадь развертки цилиндра.

Решение:

Радиус цилиндра \( r = 4 \). Диагональ осевого сечения \( d_{осн} = 12 \).

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника, высота \( h \) и диаметр \( D = 2r \) образуют прямоугольный треугольник. Диаметр \( D = 2 \cdot 4 = 8 \).

По теореме Пифагора: \( h^2 + D^2 = d_{осн}^2 \)
\( h^2 + 8^2 = 12^2 \)
\( h^2 + 64 = 144 \)
\( h^2 = 144 - 64 = 80 \)
\( h = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \).

Площадь развертки цилиндра (площадь боковой поверхности) равна \( S_{бок} = \pi D h \) или \( S_{бок} = 2 \pi r h \).

\( S_{бок} = 2 \pi \cdot 4 \cdot 4\sqrt{5} = 32\sqrt{5}\pi \) см².

Ответ: Площадь развертки цилиндра равна 32\(\sqrt{5}\)\(\pi\) см².