9. Радиус и площадь осевого сечения конуса равны соответственно 4 и 32. Найти площадь полной поверхности конуса.

Решение:

Радиус основания конуса \( r = 4 \). Площадь осевого сечения \( S_{осн} = 32 \).

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник. Его площадь равна произведению образующей \( l \) на радиус основания \( r \), умноженному на 2, и деленному на 2. Площадь осевого сечения равна произведению высоты \( h \) на диаметр \( D = 2r \).

\( S_{осн} = h \cdot D = h \cdot (2r) \).

\( 32 = h \cdot (2 \cdot 4) \)
\( 32 = h \cdot 8 \)
\( h = \frac{32}{8} = 4 \) см.

Теперь найдем образующую \( l \) по теореме Пифагора: \( l^2 = r^2 + h^2 \).
\( l^2 = 4^2 + 4^2 \)
\( l^2 = 16 + 16 = 32 \)
\( l = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) см.

Площадь полной поверхности конуса находится по формуле \( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi r l + \pi r^2 \).

1. Площадь боковой поверхности:
   \( S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\pi \) см².
2. Площадь основания:
   \( S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16 \pi \) см².
3. Площадь полной поверхности:
   \( S_{полн} = 16\sqrt{2}\pi + 16 \pi = 16\pi (\sqrt{2} + 1) \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности конуса равна 16\(\pi\)(\(\sqrt{2}\) + 1) см².