4. Высота цилиндра равна 8 угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечений 30°. Найти площадь полной поверхности цилиндра.

Решение:

Высота цилиндра \( h = 8 \). Угол между образующей (которая равна высоте) и диагональю осевого сечения \( \alpha = 30^{\circ} \).

Осевое сечение цилиндра — прямоугольник. Диагональ этого прямоугольника, высота \( h \) и диаметр \( D \) образуют прямоугольный треугольник. Угол \( \alpha \) — это угол между гипотенузой (диагональю) и катетом (высотой).

В прямоугольном треугольнике: \( \text{tg } \alpha = \frac{D}{h} \).

\( \text{tg } 30^{\circ} = \frac{D}{8} \)
\( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{D}{8} \)
\( D = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см.

Радиус цилиндра \( r = \frac{D}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \) см.

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площадей двух оснований: \( S_{полн} = S_{бок} + 2 S_{осн} = 2 \pi r h + 2 \pi r^2 \).

1. Площадь боковой поверхности:
   \( S_{бок} = 2 \pi r h = 2 \pi \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot 8 = \frac{64\sqrt{3}\pi}{3} \) см².
2. Площадь основания:
   \( S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left( \frac{4\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \pi \cdot \frac{16 \cdot 3}{9} = \pi \cdot \frac{16}{3} = \frac{16\pi}{3} \) см².
3. Площадь полной поверхности:
   \( S_{полн} = \frac{64\sqrt{3}\pi}{3} + 2 \cdot \frac{16\pi}{3} = \frac{64\sqrt{3}\pi + 32\pi}{3} = \frac{32\pi(2\sqrt{3} + 1)}{3} \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности цилиндра равна \(\frac{32\pi(2\sqrt{3} + 1)}{3}\) см².